Nombre imaginaire pur et réciproque - Corrigé

Énoncé

Soit `z \ \in \mathbb{C} \setminus \{ 1 \}` .

1. Montrer que si \(\left\vert z \right\vert =1\) , alors \(\dfrac{1+z}{1-z}\) est un nombre imaginaire pur.

2. Montrer que la réciproque de cette proposition est aussi vraie.

Correction

1.  \(|z|=1\) donc il existe  \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(z = \text e^{i \theta}\) . En factorisant par l'angle moitié, on montre que  \(\dfrac{1+z}{1-z} = i \dfrac{\cos\left( \frac{\theta}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\theta}{2} \right)}\) .  Donc   \(\dfrac{1+z}{1-z}\) est un nombre imaginaire pur.

2. On suppose que \(\dfrac{1+z}{1-z}=ix\) , avec \(x\) un réel. On exprime \(z\) en fonction de \(x\) , puis on calcule son module. On a  \(\dfrac{1+z}{1-z} = ix \Longleftrightarrow1+z=ix(1-z) \Longleftrightarrow z = \dfrac{-1+ix}{1+ix}\) . 
Donc \(\left\vert \dfrac{-1+ix}{1+ix} \right\vert =\dfrac{ \left\vert -1+ix \right\vert}{\left\vert 1+ix \right\vert } =\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} =1\) .

On a montré que si   \(\dfrac{1+z}{1-z}\)   est un nombre imaginaire pur, alors \(|z|=1\) .